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Versão para impressão Fazer gráficos de um observável em função de outro é bastante comum no dia a dia da pesquisa com o objetivo de se extrair alguma informação deste conjunto de dados. Por exemplo, de um gráfico de velocidade em função do tempo para a queda de um objeto pode-se extrair a aceleração do objeto. Do gráfico da massa em função do volume pode-se extrair a densidade do material. Os exemplos são muitos. Uma vez que os dados estão graficados, a extração das informações relevantes é feita através do ajuste de uma expressão matemática, ou função, a estes dados onde os parâmetros desta função correspondem à grandezas de interessa, tais como a aceleração, densidade, etc. Isso pode ser feito visualmente, com uma régua e intuição, mas atualmente é muito mais simples utilizar programas de análise gráfica. Há muitos disponíveis por ai. Como isso é feito? Qual o procedimento matemático que é utilizado para se determinar qual é o melhor conjunto de parâmetros que, em uma função matemática qualquer, descreve o comportamento dos dados da melhor forma possível? Há vários métodos estatísticos disponíveis. Vamos abordar o método dos mínimos quadrados.
Fazer gráficos de um observável em função de outro é bastante comum no dia a dia da pesquisa com o objetivo de se extrair alguma informação deste conjunto de dados. Por exemplo, de um gráfico de velocidade em função do tempo para a queda de um objeto pode-se extrair a aceleração do objeto. Do gráfico da massa em função do volume pode-se extrair a densidade do material. Os exemplos são muitos. Uma vez que os dados estão graficados, a extração das informações relevantes é feita através do ajuste de uma expressão matemática, ou função, a estes dados onde os parâmetros desta função correspondem à grandezas de interessa, tais como a aceleração, densidade, etc. Isso pode ser feito visualmente, com uma régua e intuição, mas atualmente é muito mais simples utilizar programas de análise gráfica. Há muitos disponíveis por ai. Como isso é feito? Qual o procedimento matemático que é utilizado para se determinar qual é o melhor conjunto de parâmetros que, em uma função matemática qualquer, descreve o comportamento dos dados da melhor forma possível? Há vários métodos estatísticos disponíveis. Vamos abordar o método dos mínimos quadrados.
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É comum na atividade científica nos depararmos com questionamentos que envolvem a comparação de um resultado obtido através de um experimento (ou de um trabalho teórico), sujeito a incertezas e flutuações, com uma expectativa qualquer, ou com outros resultados de um outro trabalho. Por exemplo: os resultados do LHC suportam a existência do bóson de Higgs? O valor da aceleração que eu obtive é compatível com a aceleração da gravidade em São Paulo, medida pelo IAG? Estas duas molas são iguais, ou seja, têm constantes elásticas e comprimentos compatíveis uma com a outra?
Para isso, existe um tópico de estatística chamado inferência, no qual um dos problemas que é abordado neste tópico é o teste de hipótese. Há vários testes diferentes que dependem do tipo de amostra a ser comparada, suas propriedades e características. Neste texto vamos discutir um pouco o teste-z. Este tem uma aplicação bastante limitada, pois depende de condições que nem sempre (ou raramente) são obtidas em uma amostra. Contudo, por ser um teste bastante simples, sendo fácil compreender os fundamentos que estão por trás dele, é bastante utilizado em disciplinas básicas de laboratório e estatística. Antes disso vamos rever alguns conceitos de probabilidade e densidades de probabilidade.
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A função gaussiana é uma importante função de densidade de probabilidade, muito presente na física experimental. Ela tem a forma de um sino com a boca virado para baixo segundo a expressão:
Onde
corresponde ao desvio padrão da distribuição e
, o seu valor médio. A figura 1 mostra a distribuição gaussiana.
Figura 1 - Função densidade de probabilidade gaussiana.
Por ser uma função densidade de probabilidade, a área entre dois limites da curva indica a probabilidade de encontrar a variável
entre esses limites. Em particular
pode assumir um valor entre
e
com, aproximadamente, 68% de probabilidade.
Neste texto vamos mostrar algumas características da função gaussiana, o porque ela é tão presente na física experimental e uma maneira (dentre várias) de inferir a sua expressão matemática.
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Em algumas situações a avaliação de incertezas pode ser feita na força bruta, simplesmente através da repetição de um experimento e avaliação dos desvios padrão da amostra obtida. Por exemplo, imagine-se jogando um balão de água do alto de uma torre. Você pode medir o tempo de queda deste balão e, através de um cálculo simples, supondo o movimento como sendo uniformemente variado e partindo do repouso, calcular a aceleração deste balão. Pois bem, para avaliar a incerteza nesta aceleração simplesmente repete-se à exaustão o experimento. Para cada balão jogado calcula-se a aceleração. No final, calcula-se a média das acelerações, desvio padrão e desvio padrão da média. Tem-se, portanto, o valor médio da aceleração e sua incerteza. O que aconteceu, de fato, é que a flutuação no tempo de queda do balão gerou uma flutuação na aceleração medida (veja a figura 1). Essas flutuações foram avaliadas simplesmente através da repetição da medida.
Figura 1 - Histograma com dados de um experimento de queda repetido 1500 vezes. A flutuação na medida de tempo gera uma flutuação no valor calculado de aceleração.
Por outro lado, em muitas situações não é possível repetir a medida à exaustão de forma a avaliar essas flutuações e o impacto delas em grandezas derivadas. Em uma situação bem simples, tem-se a medida
e quer-se calcular a grandeza
, derivada, bem como sua incerteza
. O cálculo de
é simples, basta substituir o valor de
na função
. Mas como eu calculo
conhecendo
? Para isso precisamos aprender a fazer propagações de incertezas. O objetivo deste texto é deduzir uma expressão para propagação de incertezas e discutir alguns exemplos simples.
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Em muitas situações durante a análise de um gráfico, independente do tipo de escala, observamos comportamentos aparentemente lineares. Nestas situações é razoavelmente simples obter a expressão matemática que representa este comportamento sem a necessidade de utilizar métodos sofisticados ou programas de computador, utilizando apenas régua e operações simples de uma calculadora. Vamos ver como fazer isso.
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É fácil observar que quando repetimos uma mesma medida, mesmo com todo cuidado do mundo e com o mesmo aparato experimental e procedimentos, o resultado obtido não é idêntico ao anterior. Isto decorre do fato de que sempre existem flutuações inerentes ao processo de medida que não podem ser eliminadas. Devemos aprender a conviver com elas e saber interpretá-las. A teoria de erros é uma parte da estatística que nos ajuda a trabalhar e compreender estas flutuações. Neste texto vamos abordar o conceito de incerteza de uma medida e aspectos introdutórios de estatística, como média, desvio padrão e desvio padrão da média.
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Este texto corresponde à versão digital do capítulo da apostila de Introdução à Medidas em Física que eu e o Prof. Marcelo Munhoz escrevemos quando coordenamos a disciplina entre 2005 e aproximadamente 2007.
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Este texto foi baseado nas apostilas “Introdução à interpretação gráfica de dados, gráficos e equações”, 1990, dos Profs. Fuad Saad, Paulo Yamamura e Kazuo Watanabe; “Física Geral e Experimental para Engenharia I”, 2003, dos Profs. Ewout ter Haar e Valdir Bindilati. Este texto é, também, a versão digital do capítulo da apostila de Introdução à Medidas em Física que eu e o Prof. Marcelo Munhoz escrevemos quando coordenamos a disciplina entre 2005 e aproximadamente 2007.
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