A função gaussiana
A função gaussiana é uma importante função de densidade de probabilidade, muito presente na física experimental. Ela tem a forma de um sino com a boca virado para baixo segundo a expressão:
Figura 1 - Função densidade de probabilidade gaussiana.
Neste texto vamos mostrar algumas características da função gaussiana, o porque ela é tão presente na física experimental e uma maneira (dentre várias) de inferir a sua expressão matemática.
O Teorema do Limite Central
O Teorema do Limite Central é um dos teoremas fundamentais da teoria de probabilidade e, em linhas gerais pode ser enunciado como:Em uma amostra aleatória qualquer simples de elementos independentes entre si, com distribuições de probabilidade bem definida com variância e média , na medida em que aumenta, a distribuição de probabilidades do valor médio dessa amostra aproxima-se de uma distribuição gaussiana de valor médio e variância .
Esse teorema tem um grande impacto na física experimental em particular e explica porque a grande maioria das distribuições de grandezas experimentais apresentam uma distribuição gaussiana. Sabemos que toda medida tem um erro associado a ela. Esse erro é, em geral, composto da soma de um número muito grande de pequenos erros individuais, em geral, independentes. Por conta disso e, aplicando o teorema do limite central, a distribuição de probabilidade dessa medida experimental acaba seguindo uma distribuição gaussiana.
Esse teorema não é simples de ser provado no nível do curso de Física Experimental II. Mas para quem estiver interessado há uma demonstração formal neste link. Contudo, podemos fazer uma "demonstração" empírica a partir de um experimento virtual simples: jogar moedas.
Uma moeda tem duas faces: cara e coroa. Para fins matemáticos, vamos assumir que cara tem valor 1 e coroa tem valor -1. Se jogarmos uma moeda, podemos obter cara ou coroa, ou seja, 1 ou -1. Para cada moeda jogada, verificamos qual face obtemos e preenchemos um histograma com o seu valor numérico (1 ou -1). Depois de repetir esse experimento 10000 vezes, obteremos aproximadamente 5000 vezes 1 e outras 5000 vezes, -1, conforme mostra a figura 2.
Figura 2 - Cara ou coroa.
Figura 3 - Duas moedas.
Figura 4 - Três moedas.
Figura 5 - 5000 moedas.
Inferência da expressão da distribuição Gaussiana
Há alguns anos eu topei com uma dedução da expressão para a gaussiana a partir de princípios muito simples. Eu não encontrei mais a referência (se alguém descobrir me avise) então resolvi reproduzir esta dedução aqui. Acredito que esta não é uma dedução muito formal como a que encontramos em geral em livros de estatística e sim uma forma de inferir a fórmula da gaussiana a partir de um experimento imaginário simples. Uma dedução mais formal, onde fica claro o teorema do limite central, pode ser encontrada no livro Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental, do Otaviano Helene e Vito Vanin, no capítulo IV.Vamos partir de princípios simples, tentando imaginar um experimento que consiste em atirar flechas contra um alvo. A mosca deste alvo é a origem de um plano cartesiano x-y. Contudo, por conta da precisão do arqueiro, nem sempre se consegue acertar a mosca. Vamos assumir que:
- Não há problemas de acurácia, ou seja, o arqueiro, em média, acerta a mosca.
- Acertar longe da mosca é menos provável que acertar perto.
- Os erros da posição que a flecha atinge o alvo são independentes, ou seja, uma boa precisão na posição no eixo x não significa uma boa precisão no eixo y, e vice-versa.
- Os erros da posição que a flecha atinge o alvo não dependem da orientação do plano cartesiano. Isto é, tanto faz qual é a direção e sentido dos eixos x e y.
Um esquema desse experimento imaginário é mostrado na figura 6.
Figura 6 - Esquema do experimento imaginário do artirador, bem como representação de grandezas utilizadas no texto.
Deste modo, a probabilidade de acertar uma pequena região quadrada do alvo, de larguras e , na posição em relação à origem é o produto das duas probabilidades, já que os erros em cada eixo são independentes, ou seja, .
O produto corresponde à função densidade de probabilidade de acertar a posição e depende somente da distância à origem, uma vez que a orientação dos eixos cartesianos não afeta a probabilidade final do arqueiro acertar uma posição do alvo. Sendo assim, eu posso orientar esses eixos em qualquer direção. Uma rotação qualquer desses eixos em torno da origem por um ângulo qualquer não deve mudar o valor de . Isso significa que:
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