Quarks de Ciência

Estabilidade nuclear

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Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.

O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina.
Segundo o modelo da gota líquida, podemos escrever a massa de um núcleo como:

    (1)
com:

    (2)


Figura 1 - Modelo da gota líquida ajustado às massas de núcleos estáveis. Retirado dessa pagina.
De acordo com a figura 1, essa parametrização descreve bem o comportamento médio das massas nucleares. Podemos utilizar esse modelo para estudar algumas características acerca da estabilidade dos núcleos em relação a emissão de radiação. Vamos considerar apenas os mecanismos de emissão de radiação que alteram o número de massa e/ou número atômico de um núcleo. Nesse caso, deixaremos de investigar, nesse momento, emissão de radiação γ, que altera somente a energia interna de um núcleo.

Antes de prosseguir, vamos definir (ou relembrar) os conceitos de isótopo, isótono e isóbaro:

• Isótopo - Dois núcleos são considerados isótopos quando o número atômico (Z) desses núcleos são iguais;
• Isótono - Dois núcleos são considerados isótonos quando o número de nêutrons (A-Z) desses núcleos são iguais;
• Isóbaro - Dois núcleos são considerados isóbaros quando o número de massa (A) desses núcleos são iguais.

Na figura 2 é apresentada a tabela de nuclídeos. Essa tabela contém todos os núcleos conhecidos atualmente. Há cerca de alguns milhares de núcleos conhecidos. Contudo, apenas uma pequena fração desses núcleos são estáveis. Esses núcleos são representados pela cor cinza na figura e correspondem a um número da ordem de centena de nuclídeos. Ou seja, grande parte dos núcleos conhecidos são instáveis e, portanto, possuem vida média finita, decaindo para estados mais estáveis.


Figura 2 - Tabela de nuclídeos.
Em linhas gerais, o decaimento de um núcleo em outro mais estável ocorre se o valor para a reação de decaimento é maior que zero, ou seja, o processo é exotérmico. Processos endotérmicos não ocorrem espontaneamente por necessitarem de uma fonte externa de energia. Vamos considerar os seguintes processos de decaimento:

• decaimento β e captura eletrônica;
• estabilidade por emissão de neutrons e prótons (drip lines, ou linhas de gotejamento);
• decaimento α;
• decaimento por partículas pesadas e fissão nuclear.

De acordo com o modelo da gota líquida, a massa de um núcleo, fixando o seu número de massa, possui uma dependência parabólica com o número atômico. Podemos encontrar, para cada valor de A o valor de Z que minimize a massa, ou seja, que maximize a energia de ligação do núcleo. Nesse caso, devemos fazer:

    (3)
que resulta em:

    (4)
Devemos notar que os termos de volume e de superfície não são decisivos para determinar o número de prótons que torna o núcleo estável para um determinado número de massa. Apenas os termos coulombiano e de assimetria são importantes. Note que, mesmo se não houvesse o termo de assimetria (), por conta da diferença entre as massas do próton e nêutron, ainda seria necessário haver prótons no interior do núcleo para torná-lo estável. Vale notar também que o número de prótons é sempre menor que a metade do número de massa. Isso está de acordo com o fato de precisarmos de mais nêutrons para compensar a forte repulsão coulombiana entre os prótons. A figura 3 mostra a tabela de nuclídeos conhecidos e a linha de núcleos estáveis. Note que essa linha foi calculada com base na fórmula de massa. Outros efeitos podem ser importantes, podendo mudar levemente os núcleos que compõe essa linha. Contudo, ela fornece uma excelente descrição média da região de estabilidade nuclear.


Figura 3 - Linha de estabilidade. As cores representam a energia de ligação por nucleon (B/A) para cada par (A, Z).
Na figura 3, os núcleos fora da linha de estabilidade tenderão a emitir radiação de forma a mudar o seu número de nêutrons e/ou prótons de modo a se aproximar dessa linha. Núcleos posicionados acima dessa linha têm a tendência de diminuir o número atômico enquanto núcleos abaixo dessa linha têm a tendência de aumentar o seu número atômico.

O principal mecanismo de decaimento da maioria desses núcleos, de modo a atingir a linha de estabilidade, é o decaimento β. Esse decaimento consiste na emissão, pelo núcleo, de um elétron (β^-) ou pósitron (β⁺) e um neutrino. A emissão de elétron/pósitron, por possuírem carga, altera o número atômico do núcleo original. Em linhas gerais, esses decaimentos β podem ser escritos como:

Para o decaimento β⁺:     (5)
Para o decaimento β^-:     (6)
Do ponto de vista da estrutura interna do núcleo, os decaimentos que ocorrem no interior do núcleo são:

Para o decaimento β⁺:     (7)
Para o decaimento β^-:     (8)
Os decaimentos acima ocorrem quando o valor para esses processos é positivo, ou seja:

Para o decaimento β⁺:     (9)
Para o decaimento β^-:     (10)

Em ambos os casos consideramos a massa do neutrino como sendo desprezível. De fato, o conhecimento que temos atualmente para a massa do neutrino faz com que a mesma seja menor que alguns eV/c², de fato desprezível.

Note que apesar de ser possível o decaimento β⁺ em um núcleo, é energéticamente inviável um próton livre decair por emissão β pelo fato da sua massa ser menor que a massa do nêutron. Para o nêutron, contudo, isso é possível. De fato, o nêutron é instável por emissão β possuindo uma vida média de aproximadamente 10 minutos.

Um processo de decaimento similar ao β é a captura eletrônica. Nesse processo, um elétron da nuvem eletrônica pode ser capturado pelo núcleo, convertendo um próton em um nêutron. Lembrem-se que elétrons, principalmente os da camada s, podem permanecer um tempo no interior do núcleo atômico. Esse processo é equivalente ao decaimento β⁺ em termos de partículas, contudo o balanço energético é diferente. Nesse caso:

Para a captura eletrônica:     (11)
ou:
Para a captura eletrônica:     (12)
Do ponto de vista de balanço energético, temos:

Para a captura eletrônica:     (13)
Note a diferença entre a equação (9) e (13). Perceba que, na equação (9) o núcleo inicial precisa possuir um excesso de massa, em relação ao núcleo final, maior que a massa do pósitron. No caso da captura eletrônica isso não é necessário. É fácil ver que a captura eletrônica violaria facilmente a conservação de energia sem a presença do neutrino na reação, pois as massas dos núcleos são bem definidas, assim como a massa e energia cinética dos elétrons capturados. Isso ocorre também no decaimento β porém é menos evidente. Adiciona-se a isso, por exemplo, o decaimento β do ¹⁴C em ¹⁴N + e^-. O ¹⁴C possui spin 0, enquanto o ¹⁴N possui spin 1. Como o e^- possui spin 1/2, não haveria conservação de momento angular se não houvesse uma outra partícula envolvida no decaimento, nesse caso o neutrino. De fato, os estudos experimentais iniciais para decaimento β levantaram a questão da manutenção das leis de conservação de energia e momento angular. As teorias se reconciliaram com essas leis em 1930 quando Pauli propôs que no decaimento β havia a presença de uma partícula a mais, de spin 1/2, muitíssimo leve, mas que poderia explicar essas discrepâncias: o neutrino (chamado por ele de nêutron, porém com a descoberta do nêutron em 1932, de massa muito maior, essa partícula foi renomeada). O neutrino somente foi descoberto em 1956. Voltaremos a esse assunto quando estudarmos em detalhes o decaimento β.

No decaimento β e captura eletrônica o número de massa do núcleo não é alterado. O que ocorre é a transformação de um nêutron em próton, ou vice-versa. Isso permite fazer uma análise mais sistemática desse decaimento com base na fórmula de massa exposta anteriormente. Com base na fórmula de massa das equações (1) e (2) podemos ver que para um valor A fixo, a massa depende quadraticamente do número atômico, possuindo um mínimo. Esse mínimo define a linha de estabilidade. Para , caso seja energéticamente possível, o núcleo decairá por uma emissão β^-, aumentando o seu número atômico. Se , sendo possível, o núcleo emitira radiação β⁺, diminuindo o seu número atômico.

Nesse ponto, devemos dividir esse problema em duas classes diferentes, por conta do termo de emparelhamento δ na fórmula de massa: núcleos ímpares (A ímpar) e núcleos pares (A par).

Para núcleos ímpares, δ = 0 e, nesse caso, para cada valor de A há apenas uma parábola para massa em função do número atômico. Na figura 4 é mostrado um exemplo para o caso de A = 101. Núcleos com Z < 44 decaem por emissão β^- enquanto núcleos com Z > 44 decaem por emissão β⁺ ou captura eletrônica. Nesse caso, tanto o decaimento β⁺ como captura eletrônica são viáveis energéticamente. O resultado nessa figura sugere que núcleos de massa ímpar possuem apenas um nuclídeo estável. Isso somente é verdade para o caso de núcleos instáveis por decaimento β. Outras formas de decaimento e ainda estrutura interna mais complexa, além da capacidade de previsão do modelo de gota líquida podem romper com essa regra. Isso ocorre para núcleos leves, onde a fórmula de massa possui severas limitações ou para núcleos muito pesados, onde decaimentos α e fissão podem ser importantes.


Figura 4 - Massa para núcleos ímpares com A = 101. Retirado de "Nuclear and Particle Physics", W. S. C. Williams. Nesse livro, a fórmula de massa utilizada é ligeiramente diferente que a apresentada aqui. Contudo, o comportamento geral é bastante similar, tornando esse exemplo numérico útil.
Para o caso de núcleos pares, o fator δ na fórmula de massa cria uma situação interessante. Para um núcleo par-par a energia de ligação possui a tendência de ser maior que aquela para um núcleo ímpar-ímpar. Nesse caso, as massas nucleares situam-se em duas parábolas deslocadas, como mostra a figura 5. Como núcleos ímpar-ímpar se situam em uma parábola de massa superior, devido à menor energia de ligação, pode-se inferir que não existam estados estáveis ímpar-ímpar. Isso é quase verdade. Há raríssimas exceções nesse caso, todas situadas em massas muito leves onde a pouca quantidade de núcleons presentes no núcleo tornam o modelo de gota líquida bastante limitado. São elas: deuteron (²H), ⁶Li, ¹⁰Be e ¹⁴N. Para massas pesadas, há poucos casos de estabilidade, porém devido à longa vida média desses núcleos, pois o decaimento é possível energéticamente. São eles: ¹⁸⁰₇₃Ta e ⁵⁰₂₃Va. Uma situação interessante, também, é a possibilidade de existirem núcleos capazes de decair por decaimento β⁺ (ou captura eletrônica) e β^- ao longo dessa linha, como mostrado na fígura 5. No caso dessa figura, para Z = 43, apenas a captura eletrônica e o decaimento β^- são permitidos por razões energéticas. Contudo, há situações onde os três modos de decaimento são possíveis e de fato ocorrem, como o caso do ⁴⁰K.

Já para o caso de núcleos par-par, com base na figura 5, podemos também inferir que possa haver mais do que um núcleo estável. Veja, por exemplo, os casos para Z = 42 e 44 nessa figura. Essa situação ocorre em diversas situações através da tabela de nuclídeos.


Figura 5 - Massa para núcleos pares om A = 100. Retirado de "Nuclear and Particle Physics", W. S. C. Williams. Nesse livro, a fórmula de massa utilizada é ligeiramente diferente que a apresentada aqui. Contudo, o comportamento geral é bastante similar, tornando esse exemplo numérico útil.
Note que, nas figuras 4 e 5, na medida em que nos afastamos da região de estabilidade, pelo fato da curva ser uma parábola, a diferença de massa para os núcleos vizinhos aumenta consideravelmente. As transições tornam-se mais energéticas. Usando o princípio da incerteza podemos inferir que as vidas médias desses núcleos tornam-se menores quanto mais distante estiverem da linha de estabilidade. Em linhas gerais esse é o caso. Afastando-se mais ainda dessa região de estabilidade, seja aumentando o número de prótons, ou aumentando o número de nêutrons relativo, pode haver situações nas quais a diferença de massa entre os núcleos vizinhos é tanta que permite o decaimento desses núcleos por emissão de prótons ou nêutrons. Ou seja, colocar um próton ou um nêutron a mais no núcleo é indesejável e esse núcleo não se torna estável. As regiões nas quais não é mais possível adicionar prótons ou nêutrons são chamadas linhas de gotejamento. Núcleos com número de prótons ou nêutrons acima desses limiares são tão instáveis que podemos questionar a sua existência. Assim, essas linhas definem dois limites na tabela de nuclídeos, estabelecendo o limite de existência de núcleos na Natureza. Essas linhas de gotejamento podem ser estimadas utilizando-se a fórmula de massa, de forma que:

Linha de gotejamento de prótons:     (14)
Linha de gotejamento de nêutrons:     (15)
O cálculo preciso dessas linhas de gotejamento é bastante complexo e está sujeito a incertezas diversas nos modelos teóricos. Utilizando a fórmula de massa podemos apenas ter uma visão embaçada da localização dessas linhas. A figura 6 mostra a tabela de nuclídeos com a linha de estabilidade e as linhas de gotejamento. Note que a tabela de nuclídeos está quase que totalmente preenchida para os núcleos com excesso de prótons. Há vários núcleos com excesso de nêutrons conhecidos, porém a linha de gotejamento de nêutrons é relativamente mais afastada da linha de estabilidade que a de prótons e, nesse caso, ainda há um vasto terreno para ser explorado. O estudo de núcleos longe da linha de estabilidade, em especial aqueles ricos em nêutrons consiste em uma área da física nuclear bastante ativa atualmente, pois acredita-se que os mesmos desempenham papel importante na nucleossíntese de elementos estáveis no interior de estrelas, explosões de supernovas, etc. além de vários desses núcleos possuírem estrutura espacial bastante exótica, como halos de matéria nuclear, etc.


Figura 6 - Linhas de gotejamento de prótons e nêutrons.
É possível haver decaimento nuclear por emissão de partículas mais pesadas. O mais comum é o decaimento α. O decaimento α ocorre quando:

    (16)
onde é a massa da partícula α. Como a partícula α é muito leve, não é vantajoso utilizar a fórmula de massa para calcular a sua massa. Nesse caso, prefira usar o valor tabelado para a sua energia de ligação de 28.3 MeV. A partir da equação (16) pode-se prever que o decaimento α é energéticamente viável para núcleos com A maior ou da ordem de 150.

Da mesma forma que o decaimento α é viável para núcleos pesados, um outro processo também pode ocorrer: a fissão espontânea. Nesse caso, um núcleo (A,Z) pode espontâneamente se dividir em dois outros núcleos com de ~ (A/2, Z/2). Mas uma vez, para esse processo ser viável energéticamente temos que:

    (17)
No caso da fissão esse processo se torna viável para A maior ou da ordem que 90. Contudo, as taxas de decaimento por fissão espontânea são muito pequenas (~10^-24 1/s) se comparadas às taxas para decaimento por partículas α (~10^-18 1/s), tornando o processo de fissão espontânea de pouca importância para a estabilidade de núcleos pesados que ocorrem naturalmente na natureza.

Exercícios

1. Essa tabela contém Z, A e energia de ligação dos núcleos. Reconstrua a figura 6, incluindo as linhas de estabilidade e gotejamento.
2. Mostre, usando a fórmula de massa, que, próximo à linha de estabilidade β, não há núcleos estáveis para decaimento α com Z maior ou da ordem de 83. Obtenha o gráfico equivalente à linha de gotejamento de prótons considerando agora partículas α.
3. A partir do núcleo com A = 245 e Z = 96, estabeleça, usando a fórmula de massa, as possíveis rotas de decaimento α ou β para o núcleo de ²⁰⁹₈₃Bi. Compare o seu resultado com a rota prevista pelos dados na tabela do exercício 1.
4. A partir dos seguintes fatos experimentais obtenha as constantes e da fórmula de massa:
   • O núcleo de ³⁵₁₈Ar emite radiação β⁺ com energia cinética máxima de 4.95 MeV
   • O núcleo de ¹³⁵₅₆Ba é um isóbaro estável para A = 135.
5. Um dos mecanismos importantes na conversão de hidrogênio em hélio em estrelas é o ciclo CNO (carbono-nitrogênio-oxigênio). Nesse ciclo, que se inicia no carbono, o mesmo é utilizado como catalizador para fusão do hidrogênio. Um esquema desse ciclo é mostrado na figura 7, indicando todas as reações nesse ciclo. Ao final do ciclo é gerado um núcleo de hélio e carbono, que pode ser utilizado novamente. Há várias etapas onde ocorre decaimento β. Calcule a quantidade de energia liberada por esse ciclo.

Figura 7 - Ciclo CNO (retirado da wikipedia).

Leitura recomendada

1. Nuclear and Particle Physics, W. S. C. Williams, capítulo 5.
2. Introdução à Física Nuclear, H. Schechter e C. Bertulani, capítulo 4.2.

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