A descoberta do núcleo atômico

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Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.

O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina.
A idéia de que a matéria seria constituída de blocos básicos origina-se na Grécia antiga. Contudo, o entendimento da estrutura da matéria, na sua formulação moderna, tomou impulso apenas nos séc. XVIII e XIX, através, principalmente, da Química. No final do séc. XIX, início do séc. XX, a idéia de átomo como sendo o elemento fundamental da matéria que ainda preservasse suas características químicas já era bastante aceita e suportada por uma vasta lista de evidências experimentais.

A descoberta dos raios catódicos (elétrons) por Johann Wilhelm Hittorf em 1869 e dos raios-X, por Wilhelm Conrad Röntgen, mais ou menos na mesma época, alavancou a pesquisa em Física das partículas microscópicas, despertando o interesse de muitos pesquisadores na época. Os raios catódicos foram estudados de forma sistemática por muitos deles, principalmente por Thomsom, no final do séc. XIX. Essa sistematização permitiu a Thomsom concluir que esses raios seriam constituídos de partículas extremamente leves (m ~ 10^-3 m_H), com razão carga/massa constante, independente de todas condições experimentais e altamente penetrantes na matéria. Através dessas evidências, Thomsom conclui que o elétron deve ser parte constituinte fundamental da matéria, mais fundamental que o próprio átomo, além de existente em elevada quantidade.

Esses estudos fizeram Thomsom formular um modelo estrutural para o átomo, também conhecido como "pudim de passas". Nesse modelo, Thomsom propõe que um átomo consiste de uma distribuição homogênea de carga positiva em uma esfera de raio R. Para balancear a carga dessa esfera, já que o átomo é neutro, Thomsom assume que no seu interior há elétrons. O nome pudim de passas sugere que esses elétrons estariam distribuídos aleatoriamente no interior dessa esfera carregada. Esse é, talvez, o grande equivoco que vários autores de livros didáticos realizam ao descrever esse modelo. Thomsom supõe que esses elétrons estariam distribuídos em anéis concêntricos e que a separação angular entre elétrons de um mesmo anel é muito bem determinada. Essa distribuição foi muito bem estudada e descrita por Thomsom e seria necessária para explicar a estabilidade do átomo, que não vem ao caso nesse curso.

Nesse momento, o aluno deve se perguntar qual é a motivação para a Física Nuclear do modelo de Thomsom? No início do séc. XX já se conhecia a radiação α, como sendo um átomo de Hélio desprovido de seus elétrons. Nessa época, Rutherford, um pós-doc, Geiger, e um estudante, Mardsen, iniciaram experimentos cujo objetivo seria bombardear folhas muito finas de ouro, com alguns milhares de átomos de espessura, por partículas α com energia de aproximadamente 5 MeV e observar, através de filmes cintiladores, como essas partículas se desviariam da sua trajetória inicial. Esse seria um experimento crucial para derrubar o modelo de Thomsom e que culminou na descoberta do núcleo atômico.

Figura 1 - Esquema do experimento de Rutherford, Geiger e Mardsen.

Figura 2 - Foto do arranjo experimental original do experimento de Rutherford, Geiger and Marsden e um esquema do equipamento. (1) colimador; (2) fonte α (3) folha metálica; (4) cintilador; (5) microscópio. Figura retirada desse site.

Vamos calcular o desvio sofrido por essas partículas ao atravessar a folha de ouro. Inicialmente vamos considerar o desvio sofrido por conta da interação com a carga positiva do átomo de Thomsom. A partir da Lei de Gauss:

$\displaystyle \oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{ \epsilon_{0} }$     (1)
Na região exterior ao átomo, assumindo uma simetria esférica, de modo que o campo possui módulo constante e direção radial em uma superfície de raio r, escrevemos que:

$\displaystyle 4\pi r^{2}E = \frac{Ze}{ \epsilon_{0} } \rightarrow E = \frac{Ze}{ 4\pi \epsilon_{0}r^{2} }$     (2)
No interior da esfera, a única diferença é que a carga interna à superfície de integração depende o raio dessa superfície. Admitindo uma distribuição de carga uniforme, podemos escrever, da mesma forma, tomando como R o raio do átomo:

$\displaystyle 4\pi r^{2}E = \frac{Ze }{ \epsilon_{0} }\frac{r^3}{R^3} \rightarrow E = \frac{Zer}{ 4\pi \epsilon_{0}R^{3} }$     (3)
Sendo uma partícula α com energia cinética inicial E₀ (velocidade inicial v₀) atravessando esse átomo, podemos calcular a força sobre essa partícula e integrar as equações de movimento. Contudo, como estamos buscando uma estimativa para o desvio sofrido por essa partícula, vamos considerar um limite superior para esse desvio, através das seguintes simplificações:

A força atuante sobre a partícula é máxima. Isso ocorre quando r = R;
A força é perpendicular à velocidade inicial, de modo a provocar o maior desvio possível;
O tempo de interação é o maior possível, ou seja ΔT ~ 2R/v₀;

Com base nessas simplificações, podemos escrever que o impulso sofrido por essa partícula vale:

$\displaystyle I = \Delta p = F\Delta T = \frac{Z_{\alpha}Ze^2} {4\pi \epsilon_0 R^2} \frac{2R} {v_0} = \frac{2Z_{\alpha}Ze^2} {4\pi \epsilon_0 R v_0}$     (4)
calculando o ângulo de deflexão dessa partícula:

$\displaystyle \theta \sim \frac{\Delta p} {p} = \frac{2Z_{\alpha}Ze^2} {4\pi \epsilon_0 R m_{\alpha} v_{0}^{2}}$     (5)
ou, em termos da energia cinética dessa partícula

$\displaystyle \theta \sim \frac{\Delta p} {p} = \frac{Z_{\alpha}Ze^2} {4\pi \epsilon_0 R E_{0}}$     (6)
Tomando agora que a energia cinética da partícula α como sendo aproximadamente 5 MeV, o raio do átomo da ordem de 1 Å, Z = 79, podemos escrever que:

$\theta \sim 4 \cdot 10^{-4}$ rad     (7)
como sendo a ordem de grandeza do desvio máximo sofrido por uma partícula α ao cruzar um átomo de Thomsom devido à sua interação com a distribuição de carga positiva.

Contudo, ainda há a distribuição de elétrons no átomo. Para calcular a ordem de grandeza típica do desvio de uma partícula α por elétrons, vamos utilizar a lei de conservação de energia e momento, ou seja:

$\displaystyle \frac{p_{0}^{2}}{2m_{\alpha}} = \frac{p_{\alpha}^{2}}{2m_{\alpha}} + \frac{p_{e}^{2}}{2m_{e}}$     (8)

$\vec{p}_0 = \vec{p}_{\alpha} + \vec{p}_{e}$     (9)
Da expressão de conservação de energia, podemos escrever que:

$p_e^2 = \lambda (p_0^2 - p_{\alpha}^2)$ com $\lambda = m_e / m_{\alpha}$     (10)
Da expressão de conservação de momento, podemos escrever que:

$p_e^2 = p_0^2 + p_{\alpha}^2 - 2p_{0}p_{\alpha}\cos{\theta}$     (11)
Substituindo uma expressão na outra, temos que:

$(1+\lambda) p_{\alpha}^2 - 2p_{0}\cos{\theta} p_{\alpha} + (1-\lambda)p_0 = 0$     (12)
A equação acima é uma equação de segundo grau que possui solução para o momento da partícula α se, e apenas se:

$\theta \sim \sin{\theta} < \lambda$     (13)
No caso acima, teríamos que o ângulo de deflexão de uma partícula α espalhada por um elétron seria tipicamente inferior a ~ 10^-4 rad.

Em ambos os casos a deflexão das partículas α pelo átomo de Thomsom é muito pequena. Contudo, uma partícula α pode sofrer deflexões por um número muito grande de átomos. Por ser um processo estatístico, onde as defexões podem ter direções aleatórias com uma certa função densidade de probabilidade (F.D.P.), o Teorema do Limite Central estabelece que a F.D.P. após interagir com N átomos segue uma distribuição Gaussiana do tipo:

$\displaystyle P(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp{(-\frac{\theta^2}{\sigma^2})}$     (14)
onde

$\sigma = \sqrt{N}\Theta$     (15)
Nesse caso, Θ é o desvio padrão da F.D.P. que descreve a deflexão das partículas por apenas um átomo. Assumindo que Θ seja de mesmo valor que aqueles obtidos anteriormente para θ e que as folhas de ouro utilizadas no experimento de Rutherford possuisem uma espessura de ~ 10.000 átomos, a F.D.P. para o espalhamento de partículas α seria uma Gaussiana de média zero e desvio padrão de aproximadamente 0.04 rad ou ~ 2^o.

Pode-se calcular, a partir da expressão para P(θ), qual seria a probabilidade de observar uma partícula α espalhada em grandes ângulos, por exemplo, θ>15^o. Essa probabilidade, nesse caso, é menor que 10^-50! Nos experimentos conduzidos por Geiger e Mardsen, foi possível observar partículas α espalhadas em ângulos muito maiores que esse valor, a taxas substancialmente maiores. Foi possível observar, inclusive, partículas α espalhadas em 180^o, ou seja, recuando completamente após colidir com um átomo, com probabilidade da ordem de 10^-4. Essa probabilidade é muito maior que a prevista pelo modelo de Thomsom, descartando-o completamente.

Figura 3 - Número de partículas α de energia 5.45 MeV espalhadas por uma folha de ouro de 2 µm de espessura. Os pontos pretos correspondem aos dados obtidos por Geiger e Marsden. A curva verde corresponde à previsão do modelo de Thomsom, a azul, do modelo de Dalton e a vermelha, para o modelo de Rutherford. Figura retirada desse site.

Em 1911 Rutherford propõe um novo modelo para o átomo. Um modelo no qual as cargas positivas estariam concentradas em uma região pequena do espaço, de dimensões significativamente menores que o átomo onde também estaria concentrada grande parte da massa atômica. Em torno dessa região orbitariam os elétrons. Um modelo similar ao sistema solar. Não é a primeira vez que esse modelo para o átomo seria proposto. Por exemplo, na mesma época que o modelo de Thomsom foi criado, Nagaoka, do Japão, havia proposto um modelo similar ao de Rutherford. Assim como o modelo de Rutherford, o modelo de Nagaoka possuia sérias limitações devido à instabilidade das órbitas eletrônicas, que colapsariam em um intervalo de tempo muito curto devido à emissão de radiação. Esse problema foi resolvido por Bohr, pouco tempo depois, com a quantização do momento angular dos elétrons nas suas órbitas estáveis.

O modelo de Rutherford surgiu pelo simples fato de serem observadas partículas α em espalhadas em ângulos grandes. Isso sugeriu um centro de força muito massivo (para que o recuo do átomo fosse pequeno) e de dimensões reduzidas, de modo a haver intensa repulsão elétrica entre o átomo e a partícula α. Nesse contexto, é possível, inclusive, estabelecer limites para o tamanho desse centro de força. Vamos supor que a partícula α não possua energia suficiente para penetrar esse centro de força. Assim, o campo elétrico com o qual ela interage é dado pela equação (2). Podemos escrever, a partir dessa equação que o potencial elétrico para essa distribuição de carga, com r>R vale:

$\displaystyle V(r)= \frac{Ze}{ 4\pi \epsilon_{0}r }$     (16)
Em uma colisão frontal, com parâmetro de impacto nulo, o ponto de máxima aproximação (r=b) pode ser obtido através da conservação de energia do sistema, ou seja:

$E_{0} = Z_{\alpha}eV(b) }$     (17)
ou seja:

$\displaystyle b = \frac{Z_{\alpha}Ze^2}{ 4\pi \epsilon_{0}E_0 } }$     (18)
No caso do experimento de Geiger e Mardsen, com partículas α de aproximadamente 5 MeV espalhadas por átomos de ouro, temos que:

$b \sim 40$ fm     (18)
Esse valor, apesar de ser muito superior ao tamanho típico de um núcleo atômico atual, é pelo menos 10000 vezes menor que um átomo típico. O grande valor obtido é devido à baixa energia das partículas α que não conseguem penetrar profundamente no campo elétrico gerado pelo núcleo atômico. Por outro lado, concentrar toda a massa e carga positiva do átomo em uma região cerca de dimensões 10000 vezes menores que suas dimensões típicas foi uma grande descoberta e iniciou todo um ramo de pesquisa em física, que é a Física Nuclear.

Leitura recomendada

Física Moderna, Caruso & Oguri, capítulo 11.
Nuclear and Particle Physics, W. S. C. Williams, capítulo 1.1.
Artigo de Rutherford sobre espalhamento de partículas α e β
Teorema do Limite Central

Alexandre Monday 08 February 2010 at 10:53 pm | ¶ | FisicaNuclear

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