Largura de decaimento

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Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.

O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina.


O decaimento radioativo de um núcleo é um processo probabilístico. Assim, não é possível obter o instante exato no qual um núcleo decai por emissão de radiação. A distribuição de probabilidade na qual uma amostra radioativa decai varia exponencialmente com vida-média dada por 1/\lambda. Nesse caso, há uma variância finita em torno dessa vida média, causando uma incerteza no tempo de vida de uma amostra radioativa. De acordo com o princípio da incerteza:

\Delta E \Delta t > \frac{\hbar}{2}             (1)

uma incerteza no tempo finita indica uma incerteza finita na energia do sistema que decai, nesse caso o núcleo. Assim, um núcleo instável não possui um estado de energia bem definido. A partir de (1) é fácil ver que quanto mais curta a vida desse estado, maior a incerteza em energia do mesmo. Núcleos estáveis, que não decaem, por possuírem vida-média infinita, encontram-se em estados muito bem definidos de energia. Qual é a distribuição de energia que o núcleo se encontra? Como descrever o seu estado energético?

A probabilidade de encontrar um núcleo em uma região do espaço é dada pelo módulo quadrático da sua função de onda. O decaimento de um núcleo, ou a diminuição do número de núcleos em uma amostra pode ser entendida como sendo a diminuição da probabilidade de encontrá-lo nessa amostra. Tomemos t=0 como o instante inicial e, desse modo, a probabilidade de encontrar um núcleo como |\psi(\vec{r},t=0)|^2. Desse modo, a probabilidade de encontrar esse núcleo em um instante qualquer de tempo decai exponencialmente na forma:

|\psi(\vec{r},t)|^2 = |\psi(\vec{r},0)|^2 e^{-\lambda t}             (2)

Caso o estado fosse estacionário, a sua evolução temporal seria dada pela Equação de Schrödinger dependente do tempo:

H\psi(\vec{r},t) = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec{r},t)             (3)

Em um estado estacionário bem definido em energia E_0, a evolução temporal da função de onda, a partir de (3) seria:

\psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r},0)e^{-\frac{i}{\hbar}E_0t}             (4)

As constantes típicas de decaimento nuclear são tais que a vida-média dos núcleos, em geral, é significativamente maior que os tempos típicos envolvidos em uma interação nuclear. Por exemplo, uma colisão entre dois núcleos em energias típicas de aceleradores, se dá em um intervalo de tempo da ordem de 10-22s (tempo típico de um núcleo passando por outro em energias da ordem de MeV). Os tempos de decaimentos nucleares são tipicamente muito maiores que esses. Assim, podemos considerar, para fins práticos, que um estado nuclear instável é instantaneamente estável. Desse modo, comparando (4) e (2), podemos assumir que a evolução temporal da função de onda de um núcleo instável pode ser dada por:

\psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r},0)e^{-\frac{i}{\hbar}Wt}             (5)

sendo W dado por:

W = E_0 - i\frac{\hbar}{2}\lambda             (6)

Assim:

\psi(\vec{r},t) = \psi(\vec{r},0)e^{-\left(\frac{i}{\hbar}E_0 +\frac{\lambda}{2}\right)t}             (7)

Sugerindo que a "energia" do núcleo tenha uma componente imaginária, o que é problemático. Isso pode ser contornado assumindo que, na verdade, a função de onda que descreve o núcleo seja composta pela superposição de vários estados de energias bem definidas, cada um com um peso determinado. Assim, podemos descrever a parte temporal da função de onda como:

e^{-\left(\frac{i}{\hbar}E_0 +\frac{\lambda}{2}\right)t} = \int_{-\infty}^{\infty}{A(E)e^{-\frac{i}{\hbar}Et}dE}             (8)

Ou seja, A(E) são os coeficientes da Transformada de Fourier da exponencial do lado esquerdo em (8), ou seja:

A(E) = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{0}^{\infty}{e^{-\left(\frac{i}{\hbar}E_0 +\frac{\lambda}{2}\right)t} e^{\frac{i}{\hbar}Et} dt} = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{0}^{\infty}{e^{\left(\frac{i}{\hbar}(E-E_0) -\frac{\lambda}{2}\right)t} dt}             (9)

A integral em (9) é fácil de ser calculada, resultando em:

A(E) = \frac{1}{\pi\hbar\lambda - 2\pi i(E-E_0)}             (10)

Assim, a probabilidade do núcleo estar em um estado de energia E é dado pelo módulo quadrático de (10), fazendo com que:

P(E) = A^*(E)A(E) = \frac{1}{(\pi\hbar\lambda)^2 + 4\pi^2 (E-E_0)^2}             (11)

Figura 1 - Forma lorentziana em comparação com uma gaussiana.

Que é uma função lorentziana (figura 1) de largura \Gamma = \hbar\lambda. Note, na figura 1, que a lorentziana possui longas caudas, se comparada à gaussiana. Podemos concluir, a partir de (10), que um núcleo decaindo com constante \lambda não se encontra em um estado único de energia. Quanto maior a constante de decaimento, ou seja, quanto menor a vida-média do núcleo, mais larga é a distribuição em energia. Analogamente à (1), podemos escrever:

\tau\Gamma = \hbar \rightarrow \tau = \frac{\hbar}{\Gamma}             (12)

Ou seja, a medida da largura de um estado de energia nuclear implica diretamente na medida da vida-média daquele estado. Medidas de vida-média realizadas dessa forma são bastante comuns em física nuclear. Contudo, deve-se tomar cuidado em separar as larguras de estados de energia devido à vida-média daquelas devido a precisões experimentais (incerteza na medida). Desse modo, esse método só é aplicável quando as incertezas experimentais em energia são muito menores que a largura do estado medido.


Leitura recomendada

  1. Introductory Nuclear Physics, K. S. Krane, capítulo 6.
  2. Introdução à Física Nuclear, H. Schechter e C. A. Bertulani, capítulos 5.
  3. Nuclear and Prticle Physics, W. S. C. Williams, capítulo 2.
Alexandre Sunday 09 May 2010 at 10:48 pm | | FisicaNuclear

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