Quarks de ciência - Alexandre Suaide

Núcleos complexos - o modelo de camadas

Wednesday 21 April 2010 at 9:44 pm

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Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.

O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina.

Quando estudamos a estabilidade atômica nos deparamos com grupos de átomos com características especiais. Esses átomos são muito mais estáveis que os demais na tabela periódica ou seja, ionizá-los requer mais energia. Na figura 1 mostramos a energia de ionização de um elétron em função do número atômico. Nota-se a presença de descontinuidades evidentes nessa curva. Nas regiões onde essas continuidades ocorrem há uma mudança brusca entre um átomo muito estável e um fracamente ligado. Esses átomos são chamados gases nobres e a razão para essa estabilidade vem da estrutura de camadas dos níveis de energia resultantes do potencial de interação.

Figura 1 - Energia de ligação atômica em função de Z.
Vimos anteriormente que a distribuição de nucleons em níveis de energia surge naturalmente de evidências experimentais. Algumas dessas evidências, que destacaremos a seguir, sugerem uma estrutura de camadas similares às camadas atômicas para a distribuição de níveis de energia nucleares. Algumas evidências que podemos citar são:

Energia de ligação do nêutron em um nível de energia menos ligado. Nesse caso, não há interação coulombiana. Nota-se (figura 2) que, dependendo do número de nêutrons no núcleo, a energia de ligação apresenta um salto similar àquela no caso atômico.
Seção de choque de absorção de nêutrons. Dependendo do número de nêutrons do núcleo, a seção de choque de absorção de nêutrons cai drasticamente (figura 3), indicando uma dificuldade em inserir um nêutron nesse núcleo.
Momento de quadrupolo elétrico. Para alguns números atômicos, o momento de quadrupolo elétrico vai a zero, indicando uma distribuição esférica de carga para esse núcleo (figura 4).

Figura 2 - Energia de ligação do último nêutron em um núcleo em função do número de nêutrons.

Figura 3 - Seção de choque de absorção de nêutrons em um núcleo em função do número de nêutrons.

Figura 4 - Momento de quadrupolo elétrico para vários núcleos.
Essas são algumas evidências experimentais que sugerem um comportamento similar ao comportamento atômico de camadas. Um levantamento sistemático indica que o número de prótons e nêutrons nos quais temos camadas fechadas são:

Para prótons: .
Para nêutrons: .

Esses números de prótons e/ou nêutrons são chamados de números mágicos e representam núcleos com estabilidade maior que os demais. Um núcleo no qual apenas prótons OU nêutrons estão nessas quantidades são denominados de núcleos mágicos. Aqueles nos quais prótons E encontram-se nessas quantidades são denominados núcleos duplamente mágicos e possuem grande estabilidade. Exemplos de núcleos duplamente mágicos são: ⁴He, ¹⁶O, etc.

Apesar da existência dessa estrutura de camadas nucleares, resolver a Equação de Schrödinger para o núcleo utilizando o potencial realista é bastante complexo senão impossível. Isso é devido à complexidade da interação entre dois nucleons. Em um núcleo contendo vários nucleons é impossível encontrar um potencial de interação a partir de primeiros princípios, ou seja, da interação entre dois nucleons.

Nesse sentido, nos anos de 1920, surgiu a idéia do modelo de camadas. O sucesso desse modelo, contudo, só veio no final da década de 1940, com a introdução do acoplamento spin-órbita, necessário para explicar diversas propriedades observadas, dentre elas os números mágicos. Vamos explorar um pouco esse modelo.

Em um sistema de muitas partículas podemos escrever o Hamiltoniano exato como sendo:

$H = \sum_{i}{T_i} + V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n)$ (1)
onde T_i

é a energia cinética da partícula

e $V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n)$ é o potencial de interação total que depende das posições de todas as partículas envolvidas. Encontrar esse potencial de interação pode ser extremamente complexo e impossível, dependendo do problema. Podemos tentar simplificar um pouco o problema assumindo que o potencial de interação total pode ser descrito como a soma de potenciais de interação entre duas partículas. Desse modo, o Hamiltoniano torna-se:

$H = \sum_{i}{T_i} + \sum_{i}\sum_{i<j}{V_{ij}(\vec{r}_i,\vec{r}_j)}$ (2)
Apesar de tornar o sistema mais simples, dependendo da complexidade do potencial de dois corpos, ainda permanece impossível encontrar o Hamiltoniano do sistema. Como vimos anteriormente, a interação entre dois nucleons é demasiadamente complexa, tornando o problema inviável.

O modelo de camadas tenta simplificar esse problema supondo que um dado nucleon não sente individualmente o potencial de cada partícula no núcleo e sim um potencial resultante efetivo e central dessas partículas. Assim, podemos escrever que o Hamiltoniano do sistema vale:

$H = \sum_{i}{\left(T_i + U(r_i)\right)} + H_{res}$ (3)
onde $H_{res}$ conrresponde a um termo devido a interações residuais no Hamiltoniando dado pela diferença entre o potencial total verdadeiro e o potencial efetivo, ou seja:

$H_{res} =\sum_{i}\sum_{i<j}{V_{ij}(\vec{r}_i,\vec{r}_j)} - \sum_{i}{U(r_i)}$ (4)
Uma hipótese inicial do modelo de camadas é que as interações residuais são pequenas podendo ser desprezadas inicialmente. Assim, o Hamiltoniano utilizado para o modelo de camadas pode ser escrito como:

$H_0 = \sum_{i}{\left(T_i + U(r_i)\right)}$ (5)
Assim, o modelo de camadas nuclear consiste em encontrar um potencial efetivo de interação no qual possamos distribuir os nucleons nos auto-estados de energia desse potencial. Esse potencial deve ser capaz de reproduzir a posição dos níveis de energia e seus números quânticos, como momento angular total, orbital, etc. Eventuais discrepâncias entre os valores previstos e observados, se pequenos, podem ser tratados como perturbações residuais a serem adicionadas a esses potenciais. A seguir vamos explorar alguns desses potenciais de interação.

Leitura recomendada

Introductory Nuclear Physics, K. S. Krane, capítulo 5.
Introduction to Nuclear and Particle Physics, A. Das e T. Ferbel, capítulo 3.
Introdução à Física Nuclear, H. Schechter e C. A. Bertulani, capítulos 4.4.
Nuclear and Prticle Physics, W. S. C. Williams, capítulo 8.