Quarks de ciência - Alexandre Suaide

O espalhamento Rutherford

Tuesday 09 February 2010 at 4:53 pm

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Notas de aula são propriedade intelectual. Sendo assim, qualquer uso, no todo ou em parte, deve ter a origem referenciada apropriadamente, após autorização de seu autor.

O texto a seguir corresponde à anotações parciais de aula. Não é um texto em forma final, completo e totalmente revisado. Nesse caso, esse texto não tem como objetivo substituir livros sobre o assunto. Assim, esse texto deve ser entendido apenas como um guia de estudo para o aluno acompanhar a disciplina.
A seguir vamos calcular a trajetória percorrida por partículas α segundo o modelo de Rutherford. Um esquema da trajetória de uma partícula pode ser visto na figura abaixo.

Figura 1 - Trajetória de partículas α em vários parâmetros de impacto sendo espalhadas por um núcleo de número atômico Z.
A Lagrangeana para para o sistema acima pode ser obtida através de:

$L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) - V(x,y,z)$     (1)
Para um sistema no qual o potencial é central, o problema pode ser tratado como planar e podemos escrever a Lagrangeana em coordenadas polares, ou seja:

$L=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{ \theta }^2) - V(r)$     (2)
No caso do modelo de Rutherford, podemos escrever que a energia potencial vale:

$V(r)=\frac{Z_{1}Z_{2}e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r} = \frac{k}{r}$     (3)
A partir da equação de Lagrange para forças conservativas:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = \frac{\partial L}{\partial q_j}$     (4)
Com $(q_1,q_2)=(r,\theta)$ , podemos escrever que:

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) = 0$     (5)
$m\ddot{r} = mr\dot{\theta}^2 + \frac{k}{r^2}$     (6)
Da equação (5), podemos dizer que a quantidade $\ell = mr^2\dot{\theta}$ é conservada durante o movimento. Essa quantidade é o momento associado à variável θ e corresponde ao momento angular do sistema. Substituindo $\ell$ na equação (6), temos que:

$m\ddot{r} = \frac{\ell^2}{mr^3} + \frac{k}{r^2}$     (7)
A equação acima pode ser resolvida após alguma manipulação algébrica. Primeiramente multiplicamos a equação acima por $\dot{r}$ e usamos as seguintes relações:

$m\ddot{r}\dot{r} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{r}^2)$     (8)
$\dot{r}(\frac{\ell^2}{mr^3} + \frac{k}{r^2}) = \frac{d}{dt}( -\frac{1}{2}\frac{\ell^2}{mr^2} - \frac{k}{r})$     (9)
Substituindo as expressões (8) e (9) em (7), chega-se a:

$\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\frac{\ell^2}{mr^2} + \frac{k}{r} ) = 0$     (10)
ou seja, a quantidade que está sendo derivada acima é uma constante do movimento. Essa quantidade é a energia total do sistema, ou seja:

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}\frac{\ell^2}{mr^2} + \frac{k}{r} = E$     (11)
Há várias técnicas para resolver a equação (11) e obter a dependência temporal de r. Contudo, em experimentos realizados em física nuclear, não se mede trajetórias durante a interação. Mede-se valores assintóticos dessas trajetórias, como ângulos de espalhamento. Isso é devido ao fato dos detectores estarem posicionados à distâncias extremamente maiores que aquelas tipicamente envolvidas na interação entre as duas partículas (lembre-se que o núcleo possui dimensões da ordem de 10^-15 m). Nesse caso, ao invés da dependência temporal de r é mais vantagem tentar obter uma expressão que relacione o ângulo de espalhamento com r, pois podemos tomar o seu valor assintótico no qual r é muito grande. Para fazer isso, devemos transformar a equação diferencial no tempo em uma equação diferencial de r em θ. Isso pode ser feito aplicando a regra da cadeia abaixo:

$\frac{d}{dt} = \frac{d}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} = \frac{\ell}{mr^2} \frac{d}{d\theta}$     (12)
Também fazemos a mudança de variável r=1/u

, de modo que:

$dr = -\frac{1}{u^2}du$     (13)
Substituindo (12) e (13) em (11), após alguma manipulação, temos:

$d\theta = \pm\frac{du}{ \sqrt{ -u^2 - \frac{2mk}{\ell^2}u +\frac{2mE}{\ell^2} } }$     (14)
Integrando ambos os lados da equação (consulte uma boa tabela de integrais, a integral em du possui solução analítica) e desprezando as constantes que aparecem quando fazemos uma integral (isso não é importante, pois estaremos interessados em calcular o ângulo de espalhamento que é a diferença entre o ângulo incidente e o ângulo de saída assintóticos), temos:

$\theta = \pm\arcsin{\left( \frac{1+\frac{\ell^2}{mk}u}{\sqrt{ 1+\frac{2\ell^2 E}{mk^2} }} \right)}$     (14)
Essa expressão parametriza o movimento da partícula α pelo campo coulombiano devido ao núcleo atômico, como mostrada na figura no alto da página. Os sinais representam quadrantes diferentes da trajetória. Vamos tomar apenas a solução positiva. A condição assintótica do movimento ocorre quando o raio tende a infinito, ou seja, quando u tende a zero. Nesse caso, podemos simplificar a equação (14), além de inverter a expressão arcsin, de modo que:

$\sin{(\theta_0)} = \frac{1}{\sqrt{ 1+\frac{2\ell^2 E}{mk^2} }}$     (15)
Que corresponde aos ângulos assintóticos do movimento, tanto antes como depois da interação. Como estamos interessados no desvio sofrido pela partícula em relação à sua direção inicial, é fácil ver que o desvio sofrido é $\Theta = 2\theta_0$ , ou seja:

$\sin{(\frac{\Theta}{2})} = \frac{1}{\sqrt{ 1+\frac{2\ell^2 E}{mk^2} }}$     (16)
Usando a relação trigonométrica:

$\sin{(\phi)} = \frac{1}{\sqrt{ 1+\cot^2(\phi) }}$     (17)
Escrevemos que:

$\cot^2{(\frac{\Theta}{2})} = \frac{2\ell^2 E}{mk^2} }$     (18)
Como o momento angular é uma grandeza conservada durante o movimento, podemos calculá-lo assintoticamente, utilizando o parâmetro de impacto. Nesse caso, o momento angular vale, para uma partícula de velocidade v e parâmetro de impacto b:

$\ell = mvb = m\sqrt{\frac{2E}{m}}b = \sqrt{2mE}b$     (19)
Assim:

$\cot{(\frac{\Theta}{2})} = \frac{2Eb}{k} }$     (20)
A expressão (20) é particularmente importante pois permite o cálculo da seção de choque de espalhamento da interação entre a partícula α e o núcleo estudado. Na figura abaixo mostramos trajetórias de várias partículas α em diferentes parâmetros de impacto. Note que quanto menor o parâmetro de impacto, maior o ângulo de espalhamento Θ da partícula incidente.

Figura 2 - Trajetórias de partículas α em diferentes parâmetros de impacto

Exercícios

Mostre que no caso de uma força central podemos reduzir o movimento a um plano e escrever a lagrangeana desse sistema de acordo com (2).
Para resolver o problema do espalhamento Rutherford não consideramos que o núcleo alvo pudesse recuar devido à interação com a partícula α. Porque? Obtenha o ângulo de espalhamento em função do parâmetro de impacto considerando o recuo do núcleo alvo.
Calcule a distância de máxima aproximação da partícula α com o núcleo em função da sua energia e parâmetro de impacto da interação. Em uma colisão de parâmetro de impacto muito pequeno, qual seria a energia necessária para uma partícula α chegar a pelo menos 10 fm de distância de um núcleo de ouro.

Leitura recomendada

Introductory Nuclear Physics, K. S. Krane, seção 11.6

Estava calculando a distância de maior aproximação da questão 3 e cheguei em algo que me pareceu estranho: quando o parâmetro de impacto for zero, a partícula incidente sempre vai chegar no núcleo (r=0), independente da energia. Está certo?!

Caio Laganá (URL) - 04-03-’10 12:17

Oi Caio
Não está certo. O problema para parâmetro de impacto pequeno é que o movimento é unidimensional e ai você tem que a equação de movimento em duas dimensões fica estranha. Isso porque l = 0 e r pode assumir qualquer valor, independente de θ. Nesse caso, é melhor pensar em um problema unidimensional. Por outro lado, qual expressão você obteve para a distância de máxima aproximação em função de b? Pode ser que dê para fazer uma conta de limite, nesse caso, dependendo de como você tocou o problema.

Alexandre - 05-03-’10 10:01